Логические операции

Определение "Логические операции" в Большой Советской Энциклопедии

Логические операции, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Логические операции можно разделить на две основные группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. «количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является - в случае нефиктивного их применения - понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n - 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики - в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция  - как (неразделительное) «или», импликация É - как оборот «если..., то...», эквиваленция ~ - как оборот «тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Логические операции и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»: «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Логические операции можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Логические операции определяется из чисто комбинаторных соображений - оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Логические операции рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, «штрих Шеффера» ½ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех  двуместных пропозициональных Логические операции (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых «исходных» высказываний р и q, в остальных - значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Логические операции).

Тождественная истина

Тождественная ложь

P

Отррицание p

q

Отрицание q

Конъюнкция

Антиконъюнкция (штрих Шеффера)

Дизъюнкция

Антидизъюнкция

Эквиваленция

Антиэквиваленция

Импликация

Антиимпликация

Обратная импликация

Обратная антиимпликация

p

q

и

л

p

ù p

q

ù q

p&q

P÷q

pÚq

pq

p~q

pq

pÉq

pq

pÌq

pËq

и

и

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

  Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Логические операции, соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Логические операции есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» - это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно ), далее идут  «одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16-2-4 = 10 собственно двуместных Логические операции Можно далее рассматривать  трёхместных Логические операции и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Логические операции достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Логические операции для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Логические операции имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.
 
  Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.
  Ю. А. Гастев.