Возрастание и убывание функции

Определение "Возрастание и убывание функции" в Большой Советской Энциклопедии

Возрастание и убывание функции. График

Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х", а £ х < х" £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x"), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x"). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х² (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)­, а убывающие f (x)¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f"(x) была неотрицательной на [а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x₀, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x₀, что для любой точки х из (a, b), х> x₀, выполняется неравенство f (x₀) £ f (x), и для любой точки х из (a, b), х< x₀, выполняется неравенство f (x) £ f (x₀). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x₀. Если f"(x₀) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x₀. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.
  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.
  С. Б. Стечкин.