Группа (матем.)

Определение "Группа (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Группа. Рис.

Группа, одно из основных понятий современной математики. Теория Группа (матем.) изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. п.). Общность теории Группа (матем.), а вместе с тем и широта её приложений обеспечиваются тем, что она изучает свойства действий в их чистом виде, отвлекаясь как от природы элементов, над которыми выполняется действие, так и от природы самого действия. В то же время теория Группа (матем.) изучает не совсем произвольные действия, а лишь те, которые обладают рядом основных свойств, перечисляемых в определении Группа (матем.) (см. ниже).

К понятию Группа (матем.) можно прийти, например, исследуя симметрию геометрических фигур. Так, квадрат (рис. a) представляется симметричной фигурой, так как, например, его поворот j около центра на 90° по часовой стрелке или зеркальное отражение y относительно диагонали AC не изменяют его положения; всего существует 8 различных движений, совмещающих квадрат с собой. Для круга (рис. б) таких движений, очевидно, уже бесконечно много — таковы, например, все его повороты около центра. А для фигуры, изображенной на рис. в, существует лишь одно движение, совмещающее её с собой, — тождественное, т. е. оставляющее каждую точку фигуры на месте.

Множество G различных движений, самосовмещающих данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей её симметричности: чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве G композицию, т.е. действие над элементами из G, по следующему правилу: если j,y — два движения из G, то результатом их композиции (иногда говорят «произведением» j и y) называется движение joy, равносильное последовательному выполнению сначала движения j , а затем движения y. Например, если j, y — движения квадрата, указанные выше, то joy — отражение квадрата относительно оси, проходящей через середины сторон AB и CD. Множество движений G, взятое с определённой на нём композицией, называется группой симметрии данной фигуры. Очевидно, композиция на множестве G удовлетворяет следующим условиям: 1) (j○y)○q = j○ (y○q) для любых j, y, q из G; 2) в G существует такой элемент e, что e○j = j○e = j для любого j из G; 3) для любого j из G существует в G такой элемент j^-1, что j○j^-1 =

j^-1○j = e. Действительно, в качестве e можно взять тождественное движение, а в качестве j^-1 — движение, обратное j, т. е. возвращающее каждую точку фигуры из нового положения в старое.

Общее (формальное) определение Группа (матем.) таково. Пусть G — произвольное множество каких-нибудь элементов, на котором задана композиция (иначе: действие над элементами): для любых двух элементов j,y из G определён некоторый элемент joy снова из G. Если при этом выполняются условия 1), 2), 3), то множество G с заданной на нём композицией называется группой.

Например, если G — множество всех целых чисел, а композиция на G — их обычное сложение (роль e будет играть число 0, а роль (j^-1 — число —j), то G — группа. Часть Н множества G, состоящая из чётных чисел, сама будет Группа (матем.) относительно той же композиции. В таких случаях говорят, что Н — подгруппа группы G. Отметим, что обе эти Группа (матем.) удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) j○y = y○j для любых j, y из группы. Всякая группа с этим условием называется коммутативной, или абелевой.
Ещё один пример группы. Подстановкой множества символов 1, 2, ..., n называется таблица

где в нижней строчке стоят те же символы 1, 2, ..., n, но, вообще говоря, в другом порядке. Композицию двух подстановок j,y определяют следующим правилом: если под символом х в подстановке j стоит символ у, а под символом у в подстановке y стоит символ z, то в подстановке j○y под символом х ставится символ z. Например,
○
Можно проверить, что множество подстановок n  символов относительно такой композиции является группой. При n ³ 3 она неабелева.

Историческая справка. Понятие Группа (матем.) послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и вообще математики на рубеже 19—20 вв. Истоки понятия Группа (матем.) обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых — теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 французские математики Ж. Лагранж и А.Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки (для теории Группа (матем.) особенно важен «Мемуар об алгебраическом решении уравнений» Лагранжа). Затем в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами Группа (матем.) подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории Группа (матем.): открытие роли т. н. нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных Группа (матем.) степени n ³ 5 и др.; он же ввёл термин «группа» (le Group), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории Группа (матем.) сыграл трактат французского математика К. Жордана о Группа (матем.) подстановок (1870).

Независимо и из других соображений идея Группа (матем.) возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Группа (матем.) преобразований: каждая геометрия определена некоторой Группа (матем.) преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей Группа (матем.)

Третий источник понятия Группа (матем.) — теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Группа (матем.) на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Группа (матем.). Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основным теореме о конечных абелевых Группа (матем.), хотя и не сформулировал её явно.

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Группа (матем.) (норвежский математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 Ли определял Группа (матем.) как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение Группа (матем.) без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

Теория групп. Конечной целью собственно теории Группа (матем.) является описание всех возможных групповых композиций. Теория Группа (матем.) распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую композицию или внесением в Группа (матем.) дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.

а) Теория конечных Группа (матем.) Основная проблема этой старейшей ветви теории Группа (матем.) — классификация т. н. простых конечных Группа (матем.), играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Группа (матем.) Одним из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема о том, что всякая неабелева простая конечная Группа (матем.) состоит из чётного числа элементов.

б) Теория абелевых Группа (матем.) Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно-порождённых абелевых Группа (матем.), полностью выясняющая их строение.

в) Теория разрешимых и нильпотентных Группа (матем.) Понятие разрешимой Группа (матем.) является обобщением понятия абелевой Группа (матем.) Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах. Для конечных Группа (матем.) это понятие может быть определено многими равносильными способами, которые перестают быть равносильными при отказе от конечности Группа (матем.) Изучение возникающих при этом классов Группа (матем.) составляет предмет теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Группа (матем.)

г) Теория Группа (матем.) преобразований. Понятие Группа (матем.) возникло исторически именно как понятие Группа (матем.) преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Группа (матем.) преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает Группа (матем.), заданная как Группа (матем.) преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, Группа (матем.) подстановок и Группа (матем.) матриц.

д) Теория представлений Группа (матем.) — важное орудие изучения абстрактных Группа (матем.) Представление абстрактной Группа (матем.) в виде некоторой конкретной Группа (матем.) (например, в виде Группа (матем.) подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных Группа (матем.), где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.

е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в Группа (матем.) дополнительных структур, согласованных с групповой композицией, отметим теорию топологических Группа (матем.) (в них групповая композиция в некотором смысле непрерывна), в частности её старейшую ветвь — теорию групп Ли.

Теория Группа (матем.) является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории Группа (матем.) русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории Группа (матем.) непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория Группа (матем.) в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений Группа (матем.) линейными преобразованиями.

Лит.: Александров П. С., Введение в теорию групп, 2 изд., М., 1951; Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, с. 248—331; Курош А. Группа (матем.), Теория групп, 3 изд., М., 1967; Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; Варден Б. Л. ван дер. Метод теории групп в квантовой механике, пер. с нем., Хар.,1938; Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, в кн.: Шмидт О. Ю. Избр. труды. Математика, М., 1959; Федоров Е. С., Симметрия правильных систем фигур, в кн.: Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; WussinG Н., Die Genesis des abstrakten GruppenbeGriffes B.1969 S.1
  М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.