Дифференциал (математич.)

Определение "Дифференциал (математич.)" в Большой Советской Энциклопедии

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х₀ производную, то приращение
Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀)
функции f (x) можно представить в виде
Dy = f" (x₀) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член
dy = f" (x₀) Dх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x₀. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство
Dy = dy + R
показывает, в каком смысле Дифференциал (математич.) dy является главной частью приращения Dy.
Подробнее о Дифференциал (математич.) функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Дифференциал (математич.) на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления.

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству
L (x" + х"") = L (x") + L (x"")
для любых х" и х"" из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x₁,..., x_n} всегда имеет вид
L (x) = a₁x₁ +... + a_nx_n,
где a₁,..., a_n — постоянные. Приращение
DL = L (x + h) - L (x)
линейной функции L (x) имеет вид
DL = L (h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде
Df = L (h) + R (h),

где остаток R (h) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Дифференциал (математич.), то существует и слабый Дифференциал (математич.), равный сильному Дифференциал (математич.) Слабый Дифференциал (математич.) может существовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f (x) º x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Дифференциал (математич.) аргумента x и обозначать dx.
Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Дифференциал (математич.) df, то он будет функцией двух переменных:
df (x; h).

Далее, считая h = h₁ постоянным, можно найти Дифференциал (математич.) от дифференциала df (x; h₁) как главную часть приращения
df (x + h₂; h₁) — df (x; h₁),

где h₂ — некоторое второе, не связанное с h₁ приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d²f = d²f (x; h₁, h₂) является функцией трёх векторных аргументов x, h₁ и h₂, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d²f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h₁ и h₂:
d²f (x; h₁, h₂) = d²f (x; h₂, h₁).
Аналогично определяется дифференциал dⁿf = dⁿf (x; h₁,..., h_n) любого порядка n.

В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d²f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d²f.

Всюду выше речь шла об обобщении понятия Дифференциал (математич.) на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Дифференциал (математич.) и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Дифференциал (математич.), Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.
  А. Н. Колмогоров.