БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Дифференциал (математич.)

Значение слова "Дифференциал (математич.)" в Большой Советской Энциклопедии


Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0
производную, то приращение

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)

функции f (x) можно представить в виде

Dy = f" (x0) Dx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член

dy = f" (x0) Dх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство

Dy = dy + R

показывает, в каком смысле Дифференциал (математич.) dy является главной частью приращения Dy.

  Подробнее о Дифференциал (математич.) функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

  Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Дифференциал (математич.) на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления.

  Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

L (x" + х"") = L (x") + L (x"")

для любых х" и х"" из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид

L (x) = a1x1 +... + anxn,

где a1,..., an — постоянные. Приращение

DL = L (x + h) - L (x)

линейной функции L (x) имеет вид

DL = L (h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде

Df = L (h) + R (h),

где остаток R (h) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Дифференциал (математич.), то существует и слабый Дифференциал (математич.), равный сильному Дифференциал (математич.) Слабый Дифференциал (математич.) может существовать и тогда, когда сильный не существует.

  В случае f (x) º x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Дифференциал (математич.) аргумента x и обозначать dx.

  Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Дифференциал (математич.) df, то он будет функцией двух переменных:

  df (x; h).

Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Дифференциал (математич.) от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения

df (x + h2; h1) — df (x; h1),

где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:

  d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).

  Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.

  В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d2f.

  Всюду выше речь шла об обобщении понятия Дифференциал (математич.) на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Дифференциал (математич.) и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

 

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Дифференциал (математич.), Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

  А. Н. Колмогоров.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Дифференциал (математич.)"

Буква "Д" | В начало | Буквосочетание "ДИ" |


Статья про слово "Дифференциал (математич.)" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 13032 раз


Интересное