Квадратичная форма

Определение "Квадратичная форма" в Большой Советской Энциклопедии

Квадратичная форма, форма 2-й степени от n переменных x₁, x₂,..., x_n, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член которого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид Квадратичная форма при n = 2:
,
при n = 3:
,
где a, b,..., f - какие-либо числа. Произвольная Квадратичная форма записывается так:
;

причём считают, что a_ij = a_ji. Квадратичная форма от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид А (х) = 1, т. е. его левая часть является Квадратичная форма; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является Квадратичная форма При замене переменных x₁, x₂,..., x_n др. переменными y₁, y₂,..., y_n, являющимися линейными комбинациями старых переменных, Квадратичная форма переходит в другую Квадратичная форма Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести Квадратичная форма к виду суммы квадратов переменных, умноженных на некоторые числа. При этом ни число квадратов (ранг Квадратичная форма), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура Квадратичная форма) не зависят от способа приведения Квадратичная форма к сумме квадратов (закон инерции). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.
При рассмотрении комплексных переменных изучаются Квадратичная форма вида

где  - число, комплексно сопряженное с x_j. Если, кроме того, такая Квадратичная форма принимает только действительные значения (это будет, когда (), то её называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным Квадратичная форма: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.
Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970.