Квантор

Определение "Квантор" в Большой Советской Энциклопедии

Квантор (от лат. quantum — сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным Квантор двух видов: Квантор (все) общности (оборот «для всех х», обозначается через "x, ("x), (x) (Ax), ) и Квантор существования («для некоторых х», обозначения: $x, ($x), (Ех),

С помощью Квантор можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В» записывается в виде "x [A (x)É ÉB (x)], «ни одно A не есть B» — в виде "x [A (x)ÉB (x)], «некоторые А суть B» — в виде $x [A (x)&B (x)], «некоторые А не суть В» — в виде $x [A (x)& B (x)] (здесь А (х) означает, что х обладает свойством A, É — знак импликации,  — отрицания, & — конъюнкции).

  Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо Квантор, называется областью действия этого Квантор (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака Квантор или в область действия Квантор, после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией); связанные же вхождения переменных можно «переименовывать»; например, записи $x (x = 2y) и $z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о $x (x = 2y) и $x (x = 2t). Применение Квантор уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если Квантор не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание. Употребление Квантор кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»: аксиомами A (t) É $xA (x) и "xA (x) É A (t) и правилами вывода «если доказано С ÉА (х) É С, то можно считать доказанным и С É "хA (х)» и «если доказано А (х) ÉС, то можно считать доказанным и $ хA (x) É C» (здесь х не входит свободно в С).

К Квантор общности и существования сводятся и др. виды Квантор, например вместо так называемого Квантор единственности $! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» Квантор, заменяя $! xA (x) на
$ xA (x) &"y"z [A (y)&A (z) É y = z].

Аналогично, Квантор, «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P (x)($x_{P (x)}, читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а "x_{p (x)} — «для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через Квантор общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:
$x_{p (x)} A (x) º $x [P (x)&A (x)] и
"x_{p (x)} A (x) º "x [P (x)ÉA (x)].

Лит.: Клини С. Квантор, Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.
  Ю.А. Гастев.