Комплекс (матем.)

Определение "Комплекс (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Комплекс (математическое), одно из основных понятий комбинаторной топологии. Для целей этой науки существенно рассматривать геометрические фигуры разбитыми на более элементарные фигуры. Проще всего составлять геометрические фигуры из симплексов, то есть в случае 3-мерного пространства — из точек, отрезков, треугольников и тетраэдров. В соответствии с этим чаще всего имеют дело с симплициальными Комплекс (матем.)

Симплициальный Комплекс (матем.) есть конечное множество симплексов, расположенных в некотором евклидовом (или гильбертовом) пространстве и обладающих следующим свойством: два симплекса этого множества или не имеют ни одной общей точки, или совокупность всех их общих точек есть общая грань обоих симплексов. Если в Комплекс (матем.) имеется g-мерный симплекс и нет симплексов большего числа измерений, то Комплекс (матем.) называется g-мерным. Это простейшее понятие подверглось многим обобщениям, идущим в разных направлениях: наряду с только что определенными конечными Комплекс (матем.) можно определить счетные Комплекс (матем.); далее можно от симплициальных Комплекс (матем.) перейти к аналогично определяемым клеточным Комплекс (матем.), элементы которых суть уже непременно симплексы, а любые выпуклые многогранники или даже любые фигуры им гомеоморфные; в последнем случае говорят о «криволинейных» Комплекс (матем.) Обычно рассматривают лишь Комплекс (матем.), удовлетворяющие следующему условию замкнутости: всякая грань симплекса, входящего в данный Комплекс (матем.), также входит в этот Комплекс (матем.) Множество, которое может быть представлено как (теоретико-множественная) сумма симплексов, образующих n-мepный Комплекс (матем.), называется n-мepным полиэдром.
Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.,— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947.