Корректные и некорректные задачи

Определение "Корректные и некорректные задачи" в Большой Советской Энциклопедии

Корректные и некорректные задачи, классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задача называется корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи); 3) решение устойчиво.
Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.
Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи.

Третье условие заключается в следующем. Если u₁ и u₂ - два различных набора исходных данных, мера уклонения которых друг от друга достаточно мала, то мера уклонения решений z₁ = R (u₁) и z₂ = R (u₂) меньше любой наперёд заданной меры точности. При этом предполагается, что в многообразии U = {u} допустимых исходных данных и в многообразии возможных решений Z = {z} установлено понятие меры уклонения (или меры близости) r(u₁, u₂) и r*(z₁, z₂). Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.
Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными).

Внимание к корректности задач было привлечено французским математиком Ж. Адамаром в связи с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых задач таких уравнений.

Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

Понятия приближённого решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения z = R (u) корректной задачи можно брать точное её решение  с приближёнными исходными данными , т. к. для любой точности e приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует такая точность d(e) исходных данных, что, если , то . Для некорректных задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать в качестве приближённого решения. Однако задание приближённых исходных данных в естественных науках может быть охарактеризовано не только исходным элементом , но и мерой его точности d. Т. о., для определения приближённого решения имеется не только элемент , но и параметр d. Понятие приближённого решения задачи z = R (u) вводится с помощью т. н. параметрического оператора R_d(u), зависящего от параметра d и называемого регуляризирующим (или исправляющим) оператором. Если оператор R_d(u) определён для всех d > 0 и всех , входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R (u), то для любой заданной точности e существует (хотя бы в принципе) такое d(e), что для любого элемента  решение  уклоняется от z меньше, чем на заданную точность e, т. е. .

Т. о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего оператора , который определяет устойчивое приближение к z.

  Примером некорректной классической математической задачи может служить задача приближённого дифференцирования при определённых (практически важных) мерах точности задания z и u. Именно, некорректной будет задача о нахождении равномерного приближения  к z по равномерному приближению  к u, т. к. здесь не выполнено первое условие корректности: не для всякой функции  такой, что  существует производная , а также не выполняется третье условие корректности: если даже существует производная , то из неравенства  не следует близость производных  и u"(х). Однако в качестве регуляризирующего оператора можно взять  при h >> d. Этот оператор определён для всех  независимо от их дифференцируемости и в ограниченном промежутке даёт равномерное приближение для всякой непрерывно дифференцируемой функции u (х).

  Можно привести много др. примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными.

Обширный класс некорректно поставленных задач в естествознании составляют задачи обработки наблюдений без дополнительной (количественной) информации о свойствах решений. Если изучается объект, количественные характеристики z которого недоступны для прямого изучения, то обычно исследуются некоторые проявления этого объекта u, функционально зависящие от z. Задача обработки наблюдений состоит в решении «обратной задачи», т. е. в определении характеристики z объекта по результатам наблюдений u; при этом u задаётся приближённо.

Имеется много работ (особенно советских математиков), посвященные методам приближённого решения некорректно поставленных задач и их применений к решению обратных задач. Эти работы имеют важное значение для автоматизации обработки наблюдений, для решения проблем управления и т. д.

Лит.: Тихонов Д. Н., Об устойчивости обратных задач, «Доклады АН СССР», 1943, т. 39, № 5; его же, О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, там же, 1963, т. 151, № 3; Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962.
  А. Н. Тихонов.