Коши - Адамара теорема

Определение "Коши - Адамара теорема" в Большой Советской Энциклопедии

Коши — Адамара теорема, теорема теории аналитических функций, позволяющая судить о сходимости степенного ряда
a₀+a₁(z—z₀)+...+a_n (z—z₀) ⁿ+...,

где a₀, a₁,..., a_n —  фиксированные комплексные числа, a z — комплексное переменное. К.—А. т. гласит: если верхний предел
,

то при r = ¥ ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при r = 0 ряд сходится только в точке z = z₀ и расходится при z ¹ z_o; наконец, в случае, когда 0 < r < ¥ ряд абсолютно сходится в круге |z—z₀| < r и расходится вне этого круга. Эта теорема была установлена О. Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.