Липшица условие

Определение "Липшица условие" в Большой Советской Энциклопедии

Липшица условие, ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек х и х", принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенству
½f(x) - f(x")½ £ М½х - х"½^a

где 0 < a £ 1 и М - некоторая постоянная, то говорят, что функция f(x) удовлетворяет условию Липшица порядка a на отрезке [a, b], и пишут: f(x) Î Lipa. Каждая функция, удовлетворяющая при каком-либо a > 0 Липшица условие на отрезке [а, b], равномерно непрерывна на [а, b]. Функция, имеющая на [а, b] ограниченную производную, удовлетворяет на [а, b] Липшица условие с любым a £ 1. Липшица условие впервые рассмотрел в 1864 нем. математик Р. Липшиц (R. Lipschitz; 1832 - 1903) в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции f(x). Иногда, исторически неправильно, связывают с именем Липшица только наиболее важный случай Липшица условие с a = 1, а в случае a < 1 говорят об условии Гёльдера (см. Гёльдера неравенство).