Неопределённые выражения

Определение "Неопределённые выражения" в Большой Советской Энциклопедии

Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Неопределённые выражения:

К Неопределённые выражения относятся:

причём

причём

где e = 2,71828... — неперово число. Указанные типы Неопределённые выражения символически обозначают так:

Следует отметить, что данная функция может являться Неопределённые выражения при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

не является Неопределённые выражения). Не всякое Неопределённые выражения имеет предел; так, выражение

не стремится ни к какому пределу

  Нахождение предела Неопределённые выражения (в случае, когда он существует) называют иногда «раскрытием неопределённости», или нахождением «истинного значения» Неопределённые выражения (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Неопределённые выражения Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.
Так, например, сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1—x, получаем

поэтому

Для вычисления пределов Неопределённые выражения типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

если f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x₀, за возможным исключением самой точки x₀, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

Иногда

вновь является Неопределённые выражения вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Неопределённые выражения

[f (x) = e^x + e^-x, g (x) = e^x — e^-x]при x ® 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения пределов Неопределённые выражения является разложение функций в ряды. Например, так как

то

Неопределённые выражения видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Неопределённые выражения

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее Неопределённые выражения имеет предел 0; Неопределённые выражения вида 3) приводится к Неопределённые выражения вида 1) или 2) преобразованием

где

Наконец, если через u (х) обозначить логарифм Неопределённые выражения видов 5), 6) и 7): u (x) = g (x) lnf (x), то u (х) является Неопределённые выражения вида 3), которое, как указано, сводится к Неопределённые выражения вида 1) или 2). Так как {f (x)} ^{g (x)} = e^{u (x)}, то, найдя предел u (х) (если он существует), можно найти и предел данного Неопределённые выражения Например, для x^x при x ® 0 имеем

и, следовательно,

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.