Неопределённых коэффициентов метод

Определение "Неопределённых коэффициентов метод" в Большой Советской Энциклопедии

Неопределённых коэффициентов метод, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:
(А + В + С) х² + (В - С) х - А = 3x² - 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D - неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2B + 3C = 1, -А + В + 3D = 1, A + C - 2D = -1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = -¹/₂, С = 0, D = ¹/₂, т. е.

В приведённых примерах успех Неопределённых коэффициентов метод зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, -A - B = 1, A + C = -1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.

Особенно важны применения Неопределённых коэффициентов метод к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y" = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда
у = х + c₂x² + c₃x³ + c₄x⁴ + c₅x⁵ + ×××.
Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" - выражение
2c₂ + 3·2с₃х + 4·3с₄х² + 5·4с₅х³ + ×××,
затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c₂ + 3·2c₃x + (1 + 4·3c₄) x² + (c₂ + 5·4c₅) x³ + ××× = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c₂ = 0; 3·2с₃ = 0; 1 + 4·3c₄ = 0; c₂ + 5·4c₅ = 0;...
Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.