Нормальный алгорифм

Определение "Нормальный алгорифм" в Большой Советской Энциклопедии

Нормальный алгорифм, одно из современных уточнений понятия алгоритма, получившее распространение в исследованиях по конструктивной математике. Предложено в 1950 А. А. Марковым, впервые систематически и строго построившим на основе этого уточнения общую алгоритмов теорию. Нормальный алгорифм эквивалентны частично-рекурсивным функциям (см. Рекурсивные функции), а следовательно, и Тьюринга машинам.

Концепция Нормальный алгорифм специально приспособлена для реализации алгоритмов, действующих над словами в тех или иных алфавитах. При этом под алфавитом в математике понимается любой конечный набор четко отличимых друг от друга графических символов (букв), а под словом в данном алфавите - произвольная конечная цепочка букв этого алфавита. Цепочка, вовсе не содержащая букв, также считается словом в данном алфавите (пустое слово). Например, цепочки «ииаам», «книга», «гамма» являются словами в русском алфавите, а также в шестибуквенном алфавите {к, н, и, г, а, м}. Элементарным актом преобразования слов в алгоритмических процессах, задаваемых Нормальный алгорифм, является т. н. операция «подстановки вместо первого вхождения». Пусть Р, Q, R - слова в некотором алфавите. Результатом подстановки Q вместо первого вхождения Р в R называется слово å (R, Р, Q), получаемое следующим образом. Если Р входит в R, т.е. R представимо в виде S₁PS₂, то среди таких представлений отыскивается представление с наиболее коротким словом S₁ и полагается å (R, Р, Q) = S₁QS₂. Если же Р не входит в R, то å (R, Р, Q) = R. Так, å (гамма, а, е) = гемма.

Для задания Нормальный алгорифм  необходимо фиксировать некоторый алфавит А, не содержащий букв «®» и « · », и упорядоченный список слов вида Р ® Q (простая формула подстановки) или Р ® · Q (заключит. формула подстановки), где Р и Q - слова в А. Формулы подстановок принято записывать друг под другом в порядке следования, объединяя их слева фигурной скобкой. Получающаяся фигура называется схемой Нормальный алгорифм Исходными данными и результатами работы Нормальный алгорифм

где d_i  (1 £ i  £ n)   означает «®» или «®», разворачивается следующим образом. Отыскивается наименьшее i, при котором P_i входит в R. Если все P_i не входят в R, то работа  можно построить Нормальный алгорифм , являющийся композицией  и , т. е. реализующий следующий интуитивный алгоритм: «сначала выполнить алгоритм , затем к результату применять ».

Соотношение между интуитивными алгоритмами и Нормальный алгорифм описывается выдвинутым А. А. Марковым принципом нормализации: всякий алгоритм, перерабатывающий слова в данном алфавите А в слова в этом же алфавите, может быть реализован посредством Нормальный алгорифм в некотором расширении А. [Легко указать очень простые алгоритмы в А, не реализуемые Нормальный алгорифм в A; с другой стороны, всегда можно ограничиться двухбуквенным (и даже однобуквенным) расширением A.] Принцип нормализации эквивалентен тезису Чёрча и, аналогично последнему, не может быть доказан из-за неточности интуитивной концепции алгоритма.
Лит.: Марков А. А., Теория алгорифмов, М. - Л., 1954 (Тр. Математического института АН СССР, т. 42); Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971.
  Б. А. Кушнер.