Обратные тригонометрические функции

Определение "Обратные тригонометрические функции" в Большой Советской Энциклопедии

Обратные тригонометрические функции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть Обратные тригонометрические функции: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны.

Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 £ arc cos х £ p, — p/2 < arc tg x < p/2, 0 <arc ctg x < p. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2pn,ветви этих функций выделены жирной линией. Обратные тригонометрические функции Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например

n = 0, ±1, ±2, …
  Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между Обратные тригонометрические функции, например из формулы

вытекает, что

Производные Обратные тригонометрические функции имеют вид

Обратные тригонометрические функции могут быть представлены степенными рядами, например<


эти ряды сходятся для —1 £ x £ 1.

Обратные тригонометрические функции можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например
.
 
  Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.