Однородная функция

Определение "Однородная функция" в Большой Советской Энциклопедии

Однородная функция, функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для Однородная функция f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом l должно иметь место равенство:
f (lx, lу,..., lu) = lⁿf (х, y,..., u),
где n — некоторый определённый показатель («показатель однородности», или «измерение Однородная функция»). Например, функции
х²— 2у²; (x— y—3z)/z²+xyz²;

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, —1, ⁴/₃. Из дифференциальных свойств Однородная функция отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее Однородная функция измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала  такой функции f (x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:
.

  Однородная функция часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b,..., l), где а, b,..., l — длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть Однородная функция (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма

  усечённого конуса правая часть — Однородная функция h, R и r измерения 3.