Операционное исчисление

Определение "Операционное исчисление" в Большой Советской Энциклопедии

Операционное исчисление, один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. Операционное исчисление имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода Операционное исчисление лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р =  интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда др. задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой, вообще говоря, задаче решения алгебраического уравнения; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал — изображение».

Для развития Операционное исчисление большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р =  и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь Операционное исчисление, Хевисайд решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако Операционное исчисление не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование Операционное исчисление было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t), 0 £ t < + ¥, переходит в функцию F (z), z = x+iy:
f (t) ® F (z),
  то производная
f (t) ® zF (z) – f (0) (*)
и интеграл
.

  Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z. В след. краткой таблице даны (при t  ³ 0) примеры соответствия

Переходя от искомой функции f (t) и данной функции 2e^4t к их изображениям F (z) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

z²F (z) – zF (z) – 6F (z) = ,
или
F (z) = .
Откуда (опять по таблице)
y = f (t) =

Другой путь обоснования Операционное исчисление предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов Операционное исчисление можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения Операционное исчисление Существует многомерное Операционное исчисление, основанное на теории кратных интегралов. Созданы Операционное исчисление дифференциальных операторов, отличных от оператора р = , например B = . Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в которых надлежащим образом определено понятие произведения функций.

Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, Операционное исчисление, М., 1966; Микусинский Я., Операционное исчисление, пер. с польск., М., 1956; Штокало И. 3., Операционное исчисление, К., 1972.
  В. А. Диткин.