Поверхности второго порядка

Определение "Поверхности второго порядка" в Большой Советской Энциклопедии

Поверхности второго порядка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0     (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Поверхности второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс Поверхности второго порядка Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,
1) эллипсоиды
 — эллипсоиды,
 — мнимые эллипсоиды;
2) гиперболоиды:
 — однополостные гиперболоиды,
 — двуполостные гиперболоиды;
3) параболоиды (p > 0, q > 0):
 — эллиптические параболоиды,
  — гиперболические параболоиды;
4) конусы второго порядка:
 — конусы,
 — мнимые конусы;
5) цилиндры второго порядка:
 — эллиптические цилиндры,
 — мнимые эллиптические цилиндры,
 — гиперболические цилиндры,
 — параболические цилиндры.
Перечисленные Поверхности второго порядка относятся к т. н. нераспадающимся Поверхности второго порядка; распадающиеся Поверхности второго порядка:
 — пары пересекающихся плоскостей,
  — пары мнимых пересекающихся плоскостей,
х² = а² — пары параллельных плоскостей,
х² = —а² — пары мнимых параллельных плоскостей,
х² = 0 — пары совпадающих плоскостей.

При исследовании общего уравнения Поверхности второго порядка важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если
 (a_ij  = a_jii),
то уравнение (*) определяет вырожденные Поверхности второго порядка: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся Поверхности второго порядка; если определитель
,

то поверхность имеет единственный центр симметрии (центр Поверхности второго порядка) и называется центральной поверхностью. Если d = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.

Для Поверхности второго порядка установлена аффинная и проективная классификация. Две Поверхности второго порядка считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы Поверхности второго порядка). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения Поверхности второго порядка Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами Поверхности второго порядка Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу Поверхности второго порядка

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1971; Ефимов Н. В., Квадратичные формы и матрицы, 5 изд., М., 1972.
  А. Б. Иванов.