Поле направлений

Определение "Поле направлений" в Большой Советской Энциклопедии

Поле направлений. Рис.

Поле направлений, совокупность точек плоскости хОу, в каждой из которых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y" = -f (x, у), то в каждой точке (х_0, у₀) некоторой области плоскости хОу известно значение углового коэффициента k = f (x₀, y₀) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой (небольшим отрезком). Таким образом, это дифференциальное уравнение определяет Поле направлений; наоборот, Поле направлений, заданное в некоторой области плоскости хОу, определяет дифференциальное уравнение вида y" = f (x, y). Проводя достаточно густую сеть изоклин [линий одинакового наклона Поле направлений f (x, у) = С, где С — постоянная], можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля (метод изоклин). На рис. изображено Поле направлений уравнения у" = х² + у²; тонкие линии (окружности) — изоклины; жирные линии — интегральные кривые.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970.