Последовательность

Определение "Последовательность" в Большой Советской Энциклопедии

Последовательность, одно из основных понятий математики. Последовательность образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,..., n,..., и записывается в виде x₁, x₂, …, x_n, … или коротко, {x_n}. Элементы, из которых составляется Последовательность, называются её членами. Члены Последовательность, стоящие на разных местах, могут совпадать. Последовательность можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел). Обычно Последовательность определяется заданием n-го члена или рекуррентной формулой, по которой каждый следующий член определяется через предыдущий (см., например, Фибоначчи числа). Наиболее часто встречаются числовые и функциональные Последовательность (т. е. Последовательность, членами которых являются числа или функции). Примеры:
1, 2, …, n, …, то есть x_n = n;     (1)
, то есть ;     (2)
,
то есть ;     (3)
,
то есть ;     (4)

Если элементы числовой Последовательность при достаточно больших номерах n сколь угодно мало отличаются от числа а, то Последовательность называется сходящейся, а число а — её пределом (аналогично определяется предел при функциональных Последовательность). Например, Последовательность (2) и (4) — сходящиеся, и их пределами служат число 0 и функция 1/(1 + x²). Несходящиеся Последовательность, например (1) и (3), называются расходящимися.