Предельный цикл

Определение "Предельный цикл" в Большой Советской Энциклопедии

Предельный цикл. Рис.

Предельный цикл системы дифференциальный уравнений 2-го порядка

- замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t ® +¥ (устойчивый Предельный цикл), или при t ® -¥ (неустойчивый Предельный цикл), или часть из них при t ® +¥, а остальные - при t ® -¥ (полуустойчивый Предельный цикл). Например, система

(r и j - полярные координаты), общее решение которой r = 1 – (1 – r₀)e^-t, j = j₀ + t (где r₀ ³ 0), имеет устойчивый Предельный цикл r = 1 (см. рис.). Понятие Предельный цикл переносится также на систему n-го порядка. С механической точки зрения устойчивый Предельный цикл соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание Предельный цикл имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.
Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.