Приближение функций комплексного переменного

Определение "Приближение функций комплексного переменного" в Большой Советской Энциклопедии

Приближение функций комплексного переменного, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей — М. В. Келдышем (1945) и в общем случае — С. Н. Мергеляном (1951).

Пусть Е_п = E_n (f, K) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f   голоморфна на К, то последовательность {Е_п} стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: E_n < qⁿ, 0 < q = q  < 1 (n > N). Если f   непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f   на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.

  Другие направления исследований — равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.

Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.
  А. А. Гончар.