БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Пфаффа уравнения

Значение слова "Пфаффа уравнения" в Большой Советской Энциклопедии


Пфаффа уравнения, уравнения вида

X1dx1 + X2dx2 + ... + Xndxn = 0,     (1)

где X1, X2, ..., Xn заданные
функции независимых переменных x1, x2, ..., xn. Изучались И. Ф. Пфаффом (1814—15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений

     (2)

таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df1 = 0, df2 = 0, ..., dfm = 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие Пфаффа уравнения (1). Если через каждую точку n-мерного пространства x1, x2, ..., xn проходит (n — 1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.

  В случае трёх независимых переменных х, у, z Пфаффа уравнения может быть записано в виде

Pdx + Qdy + Rdz = 0,     (1’)

где Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, z), R = R (х, у, z). Геометрически решение уравнения (1’) означает нахождение кривых в пространстве х, у, z, ортогональных в каждой своей точке векторному полю {Р, Q, R}, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1’). Если задать одно соотношение Ф (х, у, z) = 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1’) и соотношения



находятся, например, dy/dx и dz/dx как функции х, у, z, и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1"), лежащих на заданной поверхности Ф (х, у, z) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф1(х, у, z, с) = 0, т. е. общее решение Пфаффа уравнения (1") состоит из двух соотношений Ф (х, у, z) = 0 и Ф1(х, у, z, с) = 0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. Пфаффа уравнения (1") интегрируется одним соотношением F (х, у, z, с) = 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости



тождественно относительно х, у, z. Геометрически это значит, что существует однопараметрическое семейство интегральных поверхностей Пфаффа уравнения (1’), ортогональных в каждой точке векторному полю {Р, Q, R}. Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой Пфаффа уравнения (1’).

  Теория Пфаффа уравнения обобщена на случай систем Пфаффа уравнения, играющих особо важную роль в приложениях. Пфаффа уравнения и системы Пфаффа уравнения встречаются в механике неголономных систем, т.к. неголономные связи суть Пфаффа уравнения между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.

 

  Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. — Л. ,1947; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.

 

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Пфаффа уравнения"

Пфафф Иоганн Фридрих | Буква "П" | В начало | Буквосочетание "ПФ" | Пфейфер Рихард


Статья про слово "Пфаффа уравнения" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 3474 раз


Интересное