Пфаффа уравнения

Определение "Пфаффа уравнения" в Большой Советской Энциклопедии

Пфаффа уравнения, уравнения вида
X₁dx₁ + X₂dx₂ + ... + X_ndx_n = 0,     (1)

где X₁, X₂, ..., X_n — заданные функции независимых переменных x₁, x₂, ..., x_n. Изучались И. Ф. Пфаффом (1814—15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений
     (2)

таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df₁ = 0, df₂ = 0, ..., df_m = 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие Пфаффа уравнения (1). Если через каждую точку n-мерного пространства x₁, x₂, ..., x_n проходит (n — 1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.
В случае трёх независимых переменных х, у, z Пфаффа уравнения может быть записано в виде
Pdx + Qdy + Rdz = 0,     (1’)

где Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, z), R = R (х, у, z). Геометрически решение уравнения (1’) означает нахождение кривых в пространстве х, у, z, ортогональных в каждой своей точке векторному полю {Р, Q, R}, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1’). Если задать одно соотношение Ф (х, у, z) = 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1’) и соотношения

находятся, например, dy/dx и dz/dx как функции х, у, z, и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1"), лежащих на заданной поверхности Ф (х, у, z) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф₁(х, у, z, с) = 0, т. е. общее решение Пфаффа уравнения (1") состоит из двух соотношений Ф (х, у, z) = 0 и Ф₁(х, у, z, с) = 0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. Пфаффа уравнения (1") интегрируется одним соотношением F (х, у, z, с) = 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости

тождественно относительно х, у, z. Геометрически это значит, что существует однопараметрическое семейство интегральных поверхностей Пфаффа уравнения (1’), ортогональных в каждой точке векторному полю {Р, Q, R}. Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой Пфаффа уравнения (1’).

Теория Пфаффа уравнения обобщена на случай систем Пфаффа уравнения, играющих особо важную роль в приложениях. Пфаффа уравнения и системы Пфаффа уравнения встречаются в механике неголономных систем, т.к. неголономные связи суть Пфаффа уравнения между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.

Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. — Л. ,1947; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.