БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:
Библиотека DJVU
БСЭ
 Статистика:

Равномерная сходимость

Значение слова "Равномерная сходимость" в Большой Советской Энциклопедии

Равномерная сходимость, важный частный случай сходимости. Последовательность функций fn (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого e > 0 существует такое N = N (e), что ïf (x) — fn (x)ï < e при n > N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций fn (x) = xn равномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f (x) = 0, так как ïf (x) — fn (x)ï £ (1/2) n < e для всех 0 £ x £ 1/2, если только n > ln (1/e)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f (x) = 0 при 0 £ x < 1 и f (1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки h, удовлетворяющие неравенствам , для которых ïf (h) — fn (h)ï = hn > 1/2. Понятие Равномерная сходимость допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций fn (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f (x), то это означает, что для любого e > 0 все кривые у = fn (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2e, ограниченной кривыми у = f (x) ± e для любого х из этого отрезка (см. рис.).

  Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

Рис. к ст. Равномерная сходимость.
Рис. к ст. Равномерная сходимость.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Равномерная сходимость"

Равномерная непрерывность | Буква "Р" | В начало | Буквосочетание "РА" | Равномерное движение


Статья про слово "Равномерная сходимость" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 0 раз

Интересное

  • Florists in america
  • business support in USA
    •