Риккати уравнение

Определение "Риккати уравнение" в Большой Советской Энциклопедии

Риккати уравнение, обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
,     (*)

где а, b, а — постоянные. Это уравнение впервые исследовалось Я. Риккати (1724); отдельные частные случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли установил (1724—25), что уравнение (*) интегрируется в элементарных функциях, если а = — 2 или а = — 4kl (2k — 1), где k — целое число. Как доказал Ж. Лиувилль (1841), при других значениях а решение уравнения (*) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций. Дифференциальное уравнение
,

где Р (х), Q (x), R (x) — непрерывные функции, называется общим Риккати уравнение [в отличие от него уравнение (*) называется специальным Риккати уравнение]. При Р (х) = 0 общее Риккати уравнение является линейным дифференциальным уравнением, при R (x) = 0 — так называемым Бернулли уравнением, которые интегрируются в конечном виде. Изучены также другие случаи интегрируемости общего Риккати уравнение
Лит.: Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 4 изд., М., 1971.