Сингулярные интегральные уравнения

Определение "Сингулярные интегральные уравнения" в Большой Советской Энциклопедии

Сингулярные интегральные уравнения, интегральные уравнения с ядрами, обращающимися в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный интеграл, содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением по Коши. Примером Сингулярные интегральные уравнения может служить следующее уравнение с т. н. ядром Гильберта:

решением которого является функция
,
, ,
  где первый интеграл также понимается в смысле главного значения по Коши.
Хорошо изученным общим классом Сингулярные интегральные уравнения являются уравнения с ядром Коши вида:
, (*)

где a (t), b (t), f (t) - заданные непрерывные функции точки t пути интегрирования L (который может состоять из конечного числа гладких самонепересекающихся замкнутых или незамкнутых кривых с непрерывной кривизной) в комплексной плоскости; сингулярный интеграл

понимается как предел при e ® 0 интеграла  j по пути L_e, который получается из L после удаления симметричной относительно точки t дуги длины 2e. Ядро K (t, z) предполагается принадлежащим к одному из тех классов, которые рассматриваются в теории несингулярных интегральных уравнений. К Сингулярные интегральные уравнения вида (*) приводят многие задачи теории аналитических функций, теории упругости, гидродинамики и др.

Исследование Сингулярные интегральные уравнения (*) опирается на свойства сингулярного интеграла Ij, которые зависят от предположений, делаемых относительно j. Подробно Сингулярные интегральные уравнения исследованы в пространстве непрерывных функций j и в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. Основное свойство сингулярного интеграла Ij выражается равенством , справедливым для широкого класса функций.

Многие результаты теории Сингулярные интегральные уравнения почти без изменений переносятся на системы Сингулярные интегральные уравнения, которые можно записать в виде (*), если под а и b понимать матричные функции, а под f и j - векторы (одноколонные матрицы). Теория обобщается также на случай системы Сингулярные интегральные уравнения с разрывными коэффициентами и кусочно-гладким путём интегрирования. Изучены также некоторые классы Сингулярные интегральные уравнения в многомерных областях.

Сингулярные интегральные уравнения впервые (начало 20 в.) встретились в исследованиях А. Пуанкаре (по теории приливов) и Д. Гильберта (по краевым задачам). Ряд важных свойств Сингулярные интегральные уравнения установил нем. математик Ф. Нётер. Для разработки теории Сингулярные интегральные уравнения важное значение имели работы Т. Карлемана и И. И. Привалова. Наиболее полные результаты получены сов. учёными (Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, В. Д. Купрадзе и др.).

Лит.: Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, 3 изд., М., 1968; Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970.