Структура (матем.)

Определение "Структура (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Структура, решётка (математическая); важное алгебраическое понятие. Структура (матем.) называется непустое множество S, для элементов которого определены две операции — объединение и пересечение, обозначаемые соответственно значками È и Ç (т. е. каждой паре элементов а и b из S однозначно сопоставлен элемент a È b из S — их объединение и элемент а Ç b из S — их пересечение), причём эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам Структура (матем.)):
1. Ассоциативность == (a Èb) È с, = a È(b Èс):
(a Ç b) Ç с= а Ç (b Ç с);
  II. Коммутативность a È b = b Èа;
  a Ç b) =b Çа,
  III. Абсорбция (а È b) Ç а= а.
  (a Ç b) È а== а.

  Примеры Структура (матем.): 1) множество целых положительных чисел с операциями взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного; 2) множество всех подмножеств произвольного множества с операциями взятия теоретико-множественных объединения и пересечения подмножеств; 3) множество действительных чисел с операциями взятия большего и меньшего числа из двух данных чисел.

Подробно изучены различные специальные типы Структура (матем.), т. е. Структура (матем.), на которые наложены дополнительные условия (например, дистрибутивные Структура (матем.), модулярные, или дедекиндовы, Структура (матем.), Структура (матем.) с дополнениями). Весьма важным частным случаем Структура (матем.) являются булевы алгебры, т. е. дистрибутивные Структура (матем.) с единицей и нулём, обладающие дополнениями к каждому элементу. Булевы алгебры имеют большое значение для математической логики и теории вероятностей. Другие типы Структура (матем.) находят применение в теории множеств, топологии, функциональном анализе.

В Структура (матем.) можно ввести частичное упорядочение (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества) элементов, естественным образом связанное с операциями в Структура (матем.); этим устанавливается равносильность теории Структура (матем.) и теории частично упорядоченных множеств.
Появление понятия Структура (матем.) относится к середине 19 в.; наиболее полно оно было определено в работах Р. Дедекинда.
 

  Лит.: Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; Сикорский Р., Булевы алгебры, пер. с англ., М., 1969; Владимиров Д. А., Булевы алгебры, М., 1969.