Сферическая тригонометрия

Определение "Сферическая тригонометрия" в Большой Советской Энциклопедии

Сферическая тригонометрия. Рис.

Сферическая тригонометрия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия:
                                  (1)
cos а = cos b cos с  + sin b sin с cos А,                (2)
cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,            (2₁)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,         (3)

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;      (3₁)

в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А  (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы Сферическая тригонометрия, аналогичные указанным. Формулы Сферическая тригонометрия позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а - гипотенуза, b, с - катеты) формулы Сферическая тригонометрия упрощаются, например:
sin b = sin a sin В,                  (1")
cos a = cos b cos c,                (2")
sin a cos B = cos b sin c.        (3")

Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)
или, после преобразования,
cos а = cos b cos с (формула 2").
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
,
,
,
.

При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:
                                         (1’’)
                                   (3’’)
или более точные формулы:
       (1’’’)
           (3’’’)

Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1")-(3"), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (2₁)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3₁)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул Сферическая тригонометрия Отдельные удобные для практики формулы Сферическая тригонометрия были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.