Тригонометрический ряд

Определение "Тригонометрический ряд" в Большой Советской Энциклопедии

Тригонометрический ряд, функциональный ряд вида
, (1)
то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Тригонометрический ряд записываются в комплексной форме
 .
Числа a_n, b_n или c_n называют коэффициентами Тригонометрический ряд

Тригонометрический ряд играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Тригонометрический ряд дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Тригонометрический ряд, естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Тригонометрический ряд способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Тригонометрический ряд впервые появляются в работах Л. Эйлера («Введение в анализ бесконечно малых», 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:
,

Эйлер указал на связь между степенными рядами и Тригонометрический ряд: если , где c_n действительны, то   (где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Тригонометрический ряд к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Тригонометрический ряд могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении
,
а именно:
 ,

были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Тригонометрический ряд был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a₀ и a₁ встречаются еще раньше у Ж. Д"Аламбера (1754).

Тригонометрический ряд привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50—70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что «произвольная» функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Тригонометрический ряд, было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Тригонометрический ряд при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Тригонометрический ряд по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Тригонометрический ряд прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Тригонометрический ряд в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Тригонометрический ряд; исследования, относящиеся к изображению функций Тригонометрический ряд, привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902—06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Тригонометрический ряд, придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Тригонометрический ряд внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.
Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965.