Бесконечное произведение

Определение "Бесконечное произведение" в Большой Советской Энциклопедии

Бесконечное произведение, произведение бесконечного числа сомножителей u₁, u₂,..., u_n,..., т. е. выражение вида

Бесконечное произведение, в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Бесконечное произведение не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений
pn = u₁ u₂... u_n
при n ® ¥, то Бесконечное произведение называется сходящимся, a lim pn = р - его значением, и пишут:

Исторически Бесконечное произведение впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

  а английский математик Дж. Валлис (17 в.) - формулу:

Особое значение Бесконечное произведение приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Бесконечное произведение для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Бесконечное произведение аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

Для сходимости Бесконечное произведение необходимо и достаточно, чтобы u_n ¹ 0 для всех номеров n, чтобы u_N > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Бесконечное произведение эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.