Выпуклое тело

Определение "Выпуклое тело" в Большой Советской Энциклопедии

Выпуклое тело. Рис.

Выпуклое тело, геометрическое тело, обладающее тем свойством, что соединяющий две его любые точки отрезок содержится в нём целиком. На рис. тело а выпукло, а тело б не выпукло. Шар, куб, шаровой сегмент, полупространство - примеры Выпуклое тело Любая связная часть границы (см. Связное множество) Выпуклое тело называется выпуклой поверхностью. Через каждую точку границы Выпуклое тело проходит по крайней мере одна опорная плоскость, имеющая общую точку (или отрезок, или часть плоскости) с границей тела, но не рассекающая его (плоскость Р на рис. а). В точках, где граница Выпуклое тело - гладкая поверхность, опорная плоскость будет касательной. В тех точках, где гладкость нарушается (например, в вершине куба), можно провести бесконечно много опорных плоскостей. Выпуклое тело могут быть пяти типов: конечные (граница - замкнутая выпуклая поверхность), бесконечные (граница - одна бесконечная поверхность; например, Выпуклое тело, ограниченное параболоидом), бесконечные в обе стороны цилиндры (граница - замкнутая выпуклая цилиндрическая поверхность; например бесконечный круговой цилиндр), слои между парами параллельных плоскостей, всё пространство. Выпуклое тело могут быть заданы посредством опорной функции, выражающей расстояние от начала координат до опорной плоскости как функцию от внешней нормали к Выпуклое тело (т. е. единичного вектора, перпендикулярного опорной плоскости и направленного в сторону того из двух полупространств, определяемых этой плоскостью, в которой нет точек Выпуклое тело).

Простейшими Выпуклое тело являются выпуклые многогранники - Выпуклое тело, ограниченные конечным числом многоугольников. Для любого конечного Выпуклое тело можно построить как угодно близкие к нему выпуклые многогранники. Это позволяет решать многие задачи о Выпуклое тело следующим образом: задача решается для выпуклых многогранников, а затем путём предельного перехода соответствующий результат обосновывается и для любого Выпуклое тело Так, например, определяются площади выпуклых поверхностей и объёмы любых Выпуклое тело В частности, устанавливается, что если одно конечное Выпуклое тело охватывает другое, то площадь поверхности первого больше площади поверхности второго. Описанный метод был глубоко разработан А. Д. Александровым и применён для решения разнообразных новых задач теории Выпуклое тело

Общая теория Выпуклое тело и выпуклых поверхностей составляет так называемую геометрию Выпуклое тело Задачи геометрии Выпуклое тело охватывают широкий круг вопросов: общие свойства Выпуклое тело (теоремы об опорных плоскостях, классификация Выпуклое тело, приближение многогранниками), экстремальные свойства Выпуклое тело (например, шар среди всех Выпуклое тело с заданным объёмом имеет минимальную поверхность), теоремы о существовании и единственности Выпуклое тело с заданными свойствами (например, теорема о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней), свойства различных классов Выпуклое тело (например, тел постоянной ширины), общие свойства выпуклых поверхностей, теоремы существования и единственности для выпуклых поверхностей, внутренняя геометрия об выпуклых поверхностей и т.д. Понятие Выпуклое тело естественно возникает в геометрии пространств постоянной кривизны. Многие перечисленные выше задачи формулируются и решаются для Выпуклое тело в таких пространствах. Методы и результаты теории Выпуклое тело используются в различных разделах математики: в геометрии, в теории чисел, в математическом анализе. Основы теории Выпуклое тело были заложены в конце 19 в. немецким математиками Г. Брунном и Г. Минковским. Важнейшие новые результаты этой теории были получены советскими математиками А. Д. Александровым и А. В. Погореловым.
 

  Лит.: Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. - Л., 1948; его же, Выпуклые многогранники, М. - Л., 1950; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969.
  Э. Г. Позняк.