Гильбертово пространство

Определение "Гильбертово пространство" в Большой Советской Энциклопедии

Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Гильбертово пространство» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Гильбертово пространство понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности
  x = (x₁, x₂,..., x_n,...)

такие, что ряд x²₁ + x²₂ +... + х²_n + ... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l - действительное число, определяют естественным образом:
  x + y = (x₁ + y₁,..., x_n + y_n,...),
  lx = (lx₁, lx₂, ..., lx_n,...)/
Для любых векторов х, y Î l₂ формула
  (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... +x_ny_n + ...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число
 

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y||. Последовательность векторов х_n называется сходящейся к вектору х, если ||х_n-х|| ® 0 при n ® ¥. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Гильбертово пространство Например, формула

где 0 £ j £ p определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l₂ полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность х_n, удовлетворяющая условию ||х_п-х_m||® 0 при n, m ® ¥) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Гильбертово пространство l₂ бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы
  e₁ = (1, 0, 0,...), e₂ = (0, 1, 0,...),...
При этом для любого вектора x из l₂ имеет место разложение
  x = x₁e₁ + x₂e₂ +...     (1)
по системе {e_n}.

Другим важным примером Гильбертово пространство служит пространство l₂ всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [a, b], для которых конечен интеграл
 

понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл
 
Норма в этом случае равна
 
Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции j_i(x) из L₂, обладающие свойствами ортогональности
 
и нормированности
 
а также следующим свойством замкнутости: если f(x) принадлежит L₂ и
 
то f(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2p] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему
 
Разложению (1) соответствует разложение функции f(x) из L₂ в ряд Фурье

сходящийся к f(x) по норме пространства L₂. При этом для всякой функции f(x) выполняется равенство Парсеваля
 

Соответствие между функциями f(x) из L₂ и последовательностями их коэффициентов Фурье a₀, a₁, b₁, a₂, b₂,... является взаимно однозначным отображением L₂ на l₂, сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.

В более широком смысле под Гильбертово пространство понимают произвольное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В зависимости от того, определено ли для элементов Гильбертово пространство Н умножение только на действительные числа или же элементы из Н можно умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и комплексное Гильбертово пространство В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (х, у), определённую для любой пары х, у элементов из Н и обладающую следующими свойствами:
1) (х, х) = 0 в том и только том случае, если х = 0,
2) (х, х) ³ 0 для любого x из Н,
3) (х + у, z) = (x, z) + (у, z),
4) (lx, у) = l(x, у) для любого комплексного числа l,
5)
где черта означает комплексно сопряжённую величину. Норма элемента х определяется равенством
 

Комплексные Гильбертово пространство играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные Гильбертово пространство Одним из важнейших направлений теории Гильбертово пространство является изучение линейных операторов в Гильбертово пространство (см. Операторов теория). Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные применения Гильбертово пространство в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1 - Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.
  Ю. В. Прохоров.