Гипергеометрический ряд

Определение "Гипергеометрический ряд" в Большой Советской Энциклопедии

Гипергеометрический ряд, ряд вида

Гипергеометрический ряд был впервые изучен Л. Эйлером (1778). Разложение многих функций в бесконечные ряды представляет собой частные случаи Гипергеометрический ряд Например:
(1 + z) ⁿ = F (—n, b; b; —z),
ln (1 + z) = zF (1, 1; 2; —z),

Гипергеометрический ряд имеет смысл, если g не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при |z| < 1. Если, кроме того, g—a—b >0, то Гипергеометрический ряд сходится и при z = 1. В этом случае справедлива формула Гаусса:
F (a, b; g; 1) = G(g)G(g—a—b)/G(g—a)G(g—b),

где Г (z) — гамма-функция. Аналитическая функция, определяемая для |z| < 1 с помощью Гипергеометрический ряд, называется гипергеометрической функцией и играет важную роль в теории дифференциальных уравнений.