Двойственности принцип

Определение "Двойственности принцип" в Большой Советской Энциклопедии

Двойственности принцип. Рис.

Двойственности принцип, принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия.

1) Двойственности принцип формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Двойственности принцип в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).

2) Двойственности принцип в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества L - всем множеством М, а множества М - пустым множеством L. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения - суммой дополнений.
Пример 1. Верному соотношению
(A È В)Ç С = (A Ç С) È (ВÇ С)
двойственно соотношение (также верное)
(АÇ B) È C = (A È С) Ç (В È С)
  Пример 2. Верному соотношению
(AÈB)È(ĀÇ`B) = M
двойственно соотношение (также верное)
(ĀÇ `B)Ç(АÈ В) = L ,
где Ā, `B - дополнения множеств А, В во множестве М, А Ç В - сумма множеств А и В, A Ç В- их пересечение.
3) Двойственности принцип имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).
4) О топологических законах двойственности см. Топология.
 

  Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.