Дзета-функция

Определение "Дзета-функция" в Большой Советской Энциклопедии

Дзета-функция, 1) аналитическая функция комплексного переменного s = s + it, определяемая при s > 1 формулой



Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий математик Б. Риман (1859), поэтому её часто называют дзета-функцией Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Чебышева (1848) и Б. Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Дзета-функция-ф. и свойствами простых чисел.
Эйлер вычислил значения x(2s) для любого натурального s. В частности

Далее он вывел тождество (тождество Эйлера)

где произведение распространяется на все простые числа р = 2, 3, 5,...


Первостепенное значение для теории простых чисел имеет распределение нулей Дзета-функция-ф. Известно, что Дзета-функция-ф. имеет нули в точках s = —2n, где n = 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными) и что все остальные (так называемые нетривиальные) нули Дзета-функция-ф. находятся в полосе 0 < s < 1, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули Дзета-функция-ф. расположены на прямой s = 1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные результаты о распределении нулей Дзета-функция-ф. получены при помощи созданного советским математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитической теории чисел.


Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Титчмарш Е. К., Дзета-функция Римана, пер. с англ., М., 1947; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. — Л., 1936; Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. — Л., 1948; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.
2) В теории эллиптических функций встречается Дзета-функция-ф. Вейерштрасса

где Ã(u) — эллиптическая функция Вейерштрасса. Эту Дзета-функция-ф. не следует смешивать с Дзета-функция-ф. Римана.



"БСЭ" >> "Д" >> "ДЗ"

Статья про "Дзета-функция" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 9 раз
Яйца в кляре
Яйца в кляре

TOP 20