Эллиптические функции

Определение "Эллиптические функции" в Большой Советской Энциклопедии


Эллиптические функции. Рис.
Эллиптические функции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Эллиптические функции применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода


  где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Эллиптические функции) и w = sn z = sin (am z)синус амплитуды. Функции cnкосинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами


Функции sn z, cn z, dn z называют Эллиптические функции Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.
На рис. представлен вид графиков Эллиптические функции Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1
На рис. представлен вид графиков Эллиптические функции Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а


— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K основной период Эллиптические функции sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где



  и  — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа.


Функции

Периоды

Нули

Полюсы

sn z

4Km + 2iK"n

2mK + 2iK"n

 


}2mK + (2n + 1) iK"


cn z

4K + (2K + 2iK") n

(2m + 1) K + 2iK"n

dn z

2Km + 4iK"n

(2m + 1) K + (2n + 1) iK


  Эллиптические функции Вейерштрасса Ã(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода


где параметры g2 и g2 — называются инвариантами Ã(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3g2t — g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Эллиптические функции Вейерштрасса Ã(х) связана с Эллиптические функции Якоби следующими соотношениями:
,
,
.


Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами w1 и w2, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mw1 + пw2) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и , является Эллиптические функции Для построения Эллиптические функции, а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции.


  Изучению Эллиптические функции предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Эллиптические функции являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Эллиптические функции, названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Эллиптические функции, рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Эллиптические функции через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Эллиптические функции).


Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.



"БСЭ" >> "Э" >> "ЭЛ" >> "ЭЛЛ"

Статья про "Эллиптические функции" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 418 раз
Коптим скумбрию в коробке
Куриный суп

TOP 20