Интегральная геометрия

Определение "Интегральная геометрия" в Большой Советской Энциклопедии

Интегральная геометрия, раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна удовлетворять требованиям: 1) аддитивности (мера множества, состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей), 2) инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры). К Интегральная геометрия относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объёмов, решаемые посредством интегрирования (соответственного простого, двойного и тройного).

Толчком для развития Интегральная геометрия послужили задачи, относящиеся к так называемым геометрическим вероятностям, определяемым как отношение меры множества благоприятных случаев к мере множества всех возможных случаев (по аналогии с классическим определением вероятности, как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев). Первым и наиболее известным примером является «задача Бюффона» (1777): на плоскость, покрытую рядом параллельных прямых, среди которых каждые две соседние находятся на расстоянии h, падает случайным образом тонкая цилиндрическая игла, длина l которой меньше расстояния h между параллелями; какова вероятность того, что игла пересечёт одну из этих прямых. Эта задача равносильна следующей: какова вероятность того, что наудачу взятая секущая круга (диаметра h) пересечёт данный отрезок длины l < h с серединой в центре круга. Эту вероятность определяют как отношение «меры» множества прямых, пересекающих данный отрезок, к «мере» множества прямых, пересекающих данный круг. «Меру» множеств прямых, состоящих из секущих выпуклых фигур с контурами конечной длины, вводят так, чтобы выполнялись сформулированные выше два требования: аддитивности и инвариантности.

В случае множества всех прямых, пересекающих прямолинейный отрезок, мера этого множества должна быть, в силу инвариантности относительно движений, функцией только длины отрезка. Из требования аддитивности меры следует, что эта функция f (x) должна быть аддитивной: f (x + y) = f (x) + f (y), а отсюда вытекает f (x) = Cx, где C — постоянная. Итак, на плоскости мера множества всех прямых, пересекающих данный отрезок, должна быть пропорциональна его длине. Коэффициент пропорциональности удобно принять равным 2, т. е. условиться, что за меру множества прямых, пересекающих отрезок длины 1, принимается число 2. Тогда мера множества прямых, пересекающих любой отрезок, окажется равной удвоенной его длине.
Рассматривая множество прямых, пересекающих (каждая в двух точках) контур некоторого выпуклого многоугольника, можно вывести, что мера рассматриваемого множества равна просто периметру.

Переходя, наконец, к множеству прямых, пересекающих выпуклую замкнутую линию («овал»), нетрудно установить, что на плоскости мерой множества прямых, пересекающих данную выпуклую линию, должна быть длина этой линии.

В задаче Бюффона имеют в качестве меры множества благоприятных случаев удвоенную длину (2l) иглы, а для меры множества возможных случаев — длину (ph) окружности диаметра h; поэтому искомая вероятность р = 2l/ph. Этот результат не раз проверялся на опытах с бросанием иглы. В одном из таких опытов было произведено 5000 бросаний; при l = 36 мм, h = 45 мм получилась частота пересечений 0,5064, что даёт приближённое значение для p = 3,1596.

С некоторыми видоизменениями изложенная теория может быть перенесена на множества прямых, пересекающих невыпуклые контуры. Вообще, для двухпараметрических множеств прямых на плоскости мера (m) может быть определена формулой m = òòdrdj, где r, j — полярные координаты проекции полюса на прямую. Если прямая задана уравнением ux + uy = 1 (x, y — прямоугольные координаты точки), то

В конце 19 — начале 20 вв. исследования по Интегральная геометрия ещё связаны с геометрическими вероятностями (работы английского математика М. Крофтона, французского математика А. Пуанкаре), но уже в работе французского математика Э. Картана (1896) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20-х гг. 20 в. складываются в самостоятельную теорию с разнообразными приложениями: к геометрии «в целом», прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.

Лит.: Бляшке В., Лекции по интегральной геометрии, пер. с нем., «Успехи математических наук», 1938, в. 5; Вlaschke W., Vorlesungen über Integralgeometrie, H. 2. B.—Lpz., 1937.
  Я. С. Дубнов.