Кантора множество

Определение "Кантора множество" в Большой Советской Энциклопедии

Кантора множество. Рис.

Кантора множество, совершенное множество точек на прямой (см. Замкнутые множества), не содержащее ни одного отрезка; построено Г. Кантором (1883). Конструируется следующим образом (см. рис.): на отрезке [0, 1] удаляется интервал (¹/₃, ²/₃), составляющий его среднюю треть; далее из каждого оставшегося отрезка [0, ¹/₃] и [²/₃, 1] также удаляется интервал, составляющий его среднюю треть; этот процесс удаления интервалов продолжается неограниченно; множество точек отрезка [0, 1], оставшееся после удаления всех этих интервалов, и называют Кантора множество, или канторовым множеством. Удалённые интервалы называют смежными интервалами. Кантора множество имеет мощность континуума. Кантора множество (на числовой прямой) можно определить арифметически как множество тех чисел, которые записываются с помощью троичных дробей вида 0, a₁ a₂... a_n..., где каждая из цифр a₁, a₂,..., a_n,... равна 0 или 2. Кантора множество играет важную роль в различных вопросах математики (в топологии, теории функций действительного переменного).