Замкнутые множества

Определение "Замкнутые множества" в Большой Советской Энциклопедии

Замкнутые множества (математические), точечные множества на прямой, в плоскости или в пространстве, содержащие все свои прикосновения точки. При этом точкой прикосновения множества Е называется такая точка (не обязательно принадлежащая Е), что в любой её окрестности имеется по крайней мере одна точка из Е. Примером Замкнутые множества может служить геометрическая фигура (круг, квадрат и т.д.), рассматриваемая вместе со своими граничными точками. Объединение конечного числа и пересечение любого числа Замкнутые множества снова будет Замкнутые множества Дополнение любого Замкнутые множества является открытым множеством и наоборот. Наряду с открытыми множествами Замкнутые множества являются простейшими типами точечных множеств и играют важную роль в теории функций и, в частности, в теории меры (см. Меры теория). Среди Замкнутые множества особенно выделяются благодаря своим замечательным свойствам совершенные множеств а, т. е. Замкнутые множества, не имеющие изолированных точек (см., например, Кантора множество).

  Определение Замкнутые множества сохраняется также для множеств в произвольных метрических и топологических пространствах. При этом для множеств в метрических пространствах оно равносильно тому, что Замкнутые множества это множество, содержащее все свои предельные точки.
 
  Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.
  С. Б. Стечкин.