Линейчатая геометрия

Определение "Линейчатая геометрия" в Большой Советской Энциклопедии

Линейчатая геометрия, раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными - коэффициентами а, b, р, q в уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Линейчатая геометрия Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции - совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых - совокупность касательных к одной какой-либо поверхности.

Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Линейчатая геометрия вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:

x₁= x₁ - x₂, x₂ = y₁ - y₂, x₃ = z₁ - z₂, x₄ = y₁z₂ - y₂z₁, x₅ = x₂z₁ - x₁z₂, x₆ = x₁y₂ - x₂y₁.

Числа x₁, x₂, x₃ являются компонентами вектора , а x₄, x₅, x₆ - компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа x_i удовлетворяют соотношению
x₁x₄ + x₂x₅ + x₃x₆ = 0. (1)

Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел x_i, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа x_i (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение
 (2)

определяет линейный комплекс - совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке («полюсу») пространства можно поставить в соответствие плоскость («полярную плоскость»), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (ось), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию
a₁a₄ + a₂a₅ + a₃a₆ = 0.

Система двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию - совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (которые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополостным гиперболоидом, либо гиперболическим параболоидом.

Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Линейчатая геометрия разрабатывалась в работах Ф. Клейна и русского математика А. П. Котельникова. Дифференциальная геометрия конгруэнций, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итальянских математиков Л. Бианки, Г. Санниа и французского математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельниковым «винтового» исчисления советским математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнций. Проективная теория конгруэнций построена в 1927 советским математиком С. П. Финиковым.

Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л. - М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М. - Л., 1934; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л.,1937; его же, Теория конгруэнций, М. - Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М. - Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1-2, Lpz., 1902-06.
  Э. Г. Позняк.