БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Линейчатая геометрия

Значение слова "Линейчатая геометрия" в Большой Советской Энциклопедии


Линейчатая геометрия, раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными
- коэффициентами а, b, р, q в уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Линейчатая геометрия Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции - совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых - совокупность касательных к одной какой-либо поверхности.

  Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Линейчатая геометрия вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:

  x1= x1 - x2, x2 = y1 - y2, x3 = z1 - z2, x4 = y1z2 - y2z1, x5 = x2z1 - x1z2, x6 = x1y2 - x2y1.

  Числа x1, x2, x3 являются компонентами вектора , а x4, x5, x6 - компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа xi удовлетворяют соотношению

  x1x4 + x2x5 + x3x6 = 0. (1)

  Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел xi, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа xi (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение

   (2)

  определяет линейный комплекс - совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке («полюсу») пространства можно поставить в соответствие плоскость («полярную плоскость»), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (ось), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию

  a1a4 + a2a5 + a3a6 = 0.

  Система двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию - совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (которые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополостным гиперболоидом, либо гиперболическим параболоидом.

  Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Линейчатая геометрия разрабатывалась в работах Ф. Клейна и русского математика А. П. Котельникова. Дифференциальная геометрия конгруэнций, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итальянских математиков Л. Бианки, Г. Санниа и французского математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельниковым «винтового» исчисления советским математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнций. Проективная теория конгруэнций построена в 1927 советским математиком С. П. Финиковым.

 

  Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л. - М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М. - Л., 1934; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л.,1937; его же, Теория конгруэнций, М. - Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М. - Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1-2, Lpz., 1902-06.

  Э. Г. Позняк.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Линейчатая геометрия"

Линейных знаков способ | Буква "Л" | В начало | Буквосочетание "ЛИ" | Линейчатая поверхность


Статья про слово "Линейчатая геометрия" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 1191 раз


Интересное