Линейчатая поверхность

Определение "Линейчатая поверхность" в Большой Советской Энциклопедии

Линейчатая поверхность. Рис.

Линейчатая поверхность, совокупность прямых, зависящая от одного параметра; Линейчатая поверхность можно описать движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Линейчатая поверхность разделяются на развёртывающиеся и косые.

Линейчатая поверхность. Рис.

Развёртывающиеся Линейчатая поверхность могут быть посредством изгибания наложены на плоскость. Любая развёртывающаяся поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо поверхностью, состоящей из касательных к некоторой пространственной кривой (1) (рис. 1). Эту кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности. Плоскость P, пересекающая ребро возврата (L), образует в сечении с поверхностью кривую ABC с точкой возврата В (см. Особые точки). Ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости S₁ и S₂ касаются друг друга. Развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей неизменна. Отсюда следует, что совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся Линейчатая поверхность представляет собой однопараметрическое семейство. Иначе говоря, развёртывающаяся Линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

У косой Линейчатая поверхность касательные плоскости в различных точках одной и той же образующей различны. При перемещении точки касания вдоль образующей касательная плоскость вращается вокруг образующей. Полный поворот касательной плоскости, когда точка касания проходит всю образующую, равен 180°. На каждой образующей имеется такая точка, что для каждой из двух частей, на которые она делит образующую, полный поворот касательной плоскости равен 90°. Эту точку (на рис. 2 — точка О) называют центром образующей. Тангенс угла между касательными плоскостями к поверхности в центре О и какой-либо другой точке O" той же образующей пропорционален расстоянию OO". Множитель пропорциональности называется параметром распределения Линейчатая поверхность Абсолютная величина полной кривизны Линейчатая поверхность достигает на данной образующей наибольшего значения в центре образующей и убывает при удалении от центра по образующей. Геометрическое место центров образующих носит название линии сжатия, или стрикционной линии. Например, у геликоида — Линейчатая поверхность, описываемой равномерным винтовым движением прямой вокруг некоторой оси (которую движущаяся прямая пересекает под прямым углом), — линией сжатия является ось (AB на рис. 2). Линейчатая поверхность 2-го порядка — гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид — имеют две различные системы прямолинейных образующих (из однополостных гиперболоидов сконструирована радиомачта системы В. Г. Шухова, находящаяся в Москве на Шаболовке). Две системы прямолинейных образующих имеют только Линейчатая поверхность 2-го порядка.

Изгибаемые друг на друга Линейчатая поверхность можно катить одну по другой так, что в процессе качения они будут иметь общую образующую. На этом основано применение Линейчатая поверхность в теории механизмов. См. также Линейчатая геометрия.
 
  Лит.: Фиников С. П., Теория поверхностей, М. — Л., 1934; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969.
  Э. Г. Позняк.