Математическое программирование

Определение "Математическое программирование" в Большой Советской Энциклопедии

Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).



Математическое программирование — раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи Математическое программирование находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
Математическая формулировка задачи Математическое программирование: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве
X = {x: gi(x) ³ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},


где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи Математическое программирование — оптимальной точкой (вектором).


В Математическое программирование принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения gi(x) и hi (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции

при линейных ограничениях
, i = 1, 2, …, m,
либо все величины cj, aij, bi, либо часть из них случайны.



Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.


В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
,
X = {x: gi(x) ³ 0, i = 1, 2, ..., k},


необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*1, у*2, ..., у*k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа

Последнее означает, что
L(x*, y) £ L(x*, y*) £ L(x, у*)
для любых х и всех у ³ 0. Если ограничения gi(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
Если функции j(x) и gi(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
, j = 1, 2, …, n;
; ; i = 1, 2, …, k;
, yi ³ 0, i = 1, 2, …, k.
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.
На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.


В Математическое программирование одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk Î X выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + aksk), где p(xk + aksk) означает проекцию точки xk + aksk на множество X:
,


число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(xk +1) < j(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = —grad j(xk). В Математическое программирование доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что   стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.


Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач Математическое программирование является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи Математическое программирование, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.


Важным направлением исследования в Математическое программирование являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.


Математическое программирование как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач Математическое программирование
Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.
  В. Г. Карманов.




"БСЭ" >> "М" >> "МА" >> "МАТ" >> "МАТЕ"

Статья про "Математическое программирование" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 65 раз
Кишки на гриле
Кишки на гриле

TOP 20