Момент инерции

Определение "Момент инерции" в Большой Советской Энциклопедии

Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают Момент инерции осевые и центробежные. Осевым Момент инерции тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z, r — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение). Осевой Момент инерции можно также выразить через линейную величину k, называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk², где М — масса тела. Размерность Момент инерции — L²M; единицы измерения — кг×м² или г×см².
Центробежным Момент инерции относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.
Момент инерции относительно параллельных осей z и z" связаны соотношением
I_z = I_z" + М d²     (3)
где z" — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).
Момент инерции относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по формуле:

l_ol = I_x a² + I_y b² + I_z g² — 2I_xy ab — 2I_yz bg — 2I_zxga.     (4)

Зная шесть величин I_x, I_y, I_z, I_xy, I_yх, I_zx, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность Момент инерции тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда Момент инерции тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и Момент инерции относительно этих осей.
Момент инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о Момент инерции широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94—101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика.
  С. М. Тарг.