Наибольший общий делитель

Определение "Наибольший общий делитель" в Большой Советской Энциклопедии

Наибольший общий делитель двух или нескольких натуральных чисел — наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Наибольший общий делитель 45 и 72 есть 9, Наибольший общий делитель 60, 84, 96 и 120 есть 12. Наибольший общий делитель пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, — их Наибольший общий делитель Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Наибольший общий делитель этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2×2×3×5, 72 = 2×2×2×3×3 и 252 = 2×2×3×3×7; поэтому Наибольший общий делитель 60, 72 и 252 есть 2×2×З = 12. Общим приёмом отыскания Наибольший общий делитель двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее — на остаток от первого деления, остаток от первого деления — на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Наибольший общий делитель данных чисел. Например, чтобы найти Наибольший общий делитель 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464×1 + 1078, 2464 = 1078×2 + 308, 1078 = 308×3 + 154, 308 = 154×2. В остатке при последнем делении — нуль; следовательно, Наибольший общий делитель 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Наибольший общий делитель d двух чисел а и b и наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab.

Понятие Наибольший общий делитель применимо не только к числам. Так, например, Наибольший общий делитель двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Наибольший общий делитель многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).