Непрерывная дробь

Определение "Непрерывная дробь" в Большой Советской Энциклопедии

Непрерывная дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Непрерывная дробь есть выражение вида

где a₀ — любое целое число, a₁, a₂,..., a_n,... — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Непрерывная дробь К Непрерывная дробь, изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде

где a₀ — целое число и 0 < 1/a₁ < 1, затем, записывая в таком же виде a₁ и т. д. Число элементов Непрерывная дробь может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Непрерывная дробь называют конечной или бесконечной. Непрерывная дробь (1) часто символически обозначают так:
[а₀; a₁, a₂,..., a_n,...] (бесконечная Непрерывная дробь)     (2)
или
[а₀; а₁, a₂,..., a_n] (конечная Непрерывная дробь).     (3)

Конечная Непрерывная дробь всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Непрерывная дробь (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы a_n ¹ 1. Непрерывная дробь [а₀; a₁, a₂,..., a_k] (k £ n), записанную в виде несократимой дроби p_k/q_k, называют подходящей дробью порядка k данной Непрерывная дробь (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:

p_k+1 = a_k+1p_k + p_k-1, q_k+1 = a_k+1q_k + q_k-1,
которые служат основанием всей теории Непрерывная дробь Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение
p_kq_k-1 — q_kp_k-1 = ± 1.
Для каждой бесконечной Непрерывная дробь существует предел

называемый значением данной Непрерывная дробь Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Непрерывная дробь, получаемой разложением a указанным выше образом, например
(е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];

квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Непрерывная дробь

Основное значение Непрерывная дробь для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более g_k имеет место неравенство |na — m| > |g_ka — p_kl; при этом |q_k. — p_k| < 1/q_k+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.

Непрерывная дробь используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения ²²/₇, ³⁵⁵/₁₁₃ для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Непрерывная дробь Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Непрерывная дробь Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа a степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |a — x/y| > l/уⁿ. С помощью Непрерывная дробь можно построить числа a такие, что разность |a — p_k/q_k| делается меньше a/g_k, какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Непрерывная дробь, можно строить трансцендентные числа. Недостатком Непрерывная дробь является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.

Непрерывная дробь встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Непрерывная дробь изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Непрерывная дробь открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Непрерывная дробь Л. Эйлер в 18 в.

В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Непрерывная дробь, элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов.
 

  Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. — Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. — Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. — К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.