Ортогональные многочлены

Определение "Ортогональные многочлены" в Большой Советской Энциклопедии


Ортогональные многочлены, специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система Ортогональные многочлены обозначается через , а система Ортогональные многочлены, старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы Ортогональные многочлены, для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где gn =n [(a1 + (n + 1)b2].


Наиболее важные системы Ортогональные многочлены (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).


1) Якоби многочлены {Рп (l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)l (1 + x)m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены  (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); l = m = 1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Рп (х).


2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра  — при .


3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —¥, b = + ¥ и  (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).


Ортогональные многочлены обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига


где An — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система Ортогональные многочлены обладает свойствами замкнутости. Три последовательных Ортогональные многочлены , ,  связаны рекуррентным соотношением:
,
где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
,
то
;


Общая теория Ортогональные многочлены построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения Ортогональные многочлены явилось для него разложение интеграла  в непрерывную дробь с элементами вида хan и числителями ln—1. Знаменатели jn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему Ортогональные многочлены на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).
Приведённые выше классические системы Ортогональные многочлены выражаются через гипергеометрическую функцию.
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
  В. И. Битюцков.



"БСЭ" >> "О" >> "ОР" >> "ОРТ"

Статья про "Ортогональные многочлены" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 34 раз
Бургер двойного помола
Сингапурский салат

TOP 20