Нормальная (жорданова) форма матриц

Определение "Нормальная (жорданова) форма матриц" в Большой Советской Энциклопедии

Жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка

Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей   связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Нормальная (жорданова) форма матриц (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:
 (1)

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l₁, во второй l₂ и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l₁, l₂,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l - l₁)⁴, (l - l₂)², (l - l₃)². По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT^-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.
Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:


……………………………………….

в матричной записи:

Введём новые неизвестные функции y₁, у₂,... y_n при помощи неособенной матрицы  [t_ik - числа (i, k = 1, 2, …, n)]:
,
,
…………………………………….
;
в матричной записи:
х = Ту.
Подставляя это выражение для x в (2), получим:

где матрица I связана с матрицей А равенством:
А=TIT^-1.

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица  имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:
, ,
, ,
, ,
, .
Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.
Лит. см. при ст. Матрица.