Ньютона метод

Определение "Ньютона метод" в Большой Советской Энциклопедии

Ньютона метод. Рис.

Ньютона метод, метод приближённого нахождения корня x₀ уравнения f (x) = 0, называемый также методом касательных. Ньютона метод состоит в том, что по исходному («первому») приближению х = a₁ находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f (x) в точке А [а₁ f (a₁)] до её пересечения с осью Ox; точка пересечения х = a₁ - f (a₁)/f’(a₁) и принимается за новое значение a₂. корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения a₂, a₃,... корня x₀ при условии, что производная f’(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем x₀. Ошибка e₂ = x₀ -a₂ нового значения a₂ связана со старой ошибкой e₁ = x₀ - a₁ формулой ,   где  - значение второй производной функции f (x) в некоторой точке x, лежащей между x₀ и a₁. Иногда рекомендуется Ньютона метод применять одновременно с к.-л. другим способом, например с линейного интерполирования методом. Ньютона метод допускает обобщения, которые позволяют применять его для решения уравнений F (x) = 0 в нормированных пространствах (F- оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.