Потенциалы электромагнитного поля

Определение "Потенциалы электромагнитного поля" в Большой Советской Энциклопедии

Потенциалы электромагнитного поля, величины, характеризующие электромагнитное поле. В электростатике векторное электрическое поле можно характеризовать одной скалярной функцией - потенциалом электростатическим. В общем случае для описания произвольного электромагнитного поля вместо двух векторов - магнитной индукции В и напряжённости электрического поля Е можно ввести две др. величины: векторный потенциал А (х, у, z, t) и скалярный потенциал j(x, у, z, t) (где х, у, z - координаты, t - время), при этом В и Е однозначно выражаются через А и j
В = rot А,
E = -gradj,     (1)
где с - скорость света в вакууме.

Уравнения для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, и поэтому введение Потенциалы электромагнитного поля упрощает задачу нахождения переменных электромагнитных полей. Существенное упрощение уравнений для Потенциалы электромагнитного поля возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы
А" = А + gradc,
,     (2)

где c - произвольная функция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые уравнениями (1), не изменятся. Инвариантность электромагнитного поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит название калибровочной или градиентной инвариантности. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на Потенциалы электромагнитного поля дополнительное условие. Обычно таким дополнительным условием является условие Лоренца:
divA + ,     (3)

где e и m- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. При использовании условия (3) уравнения для Потенциалы электромагнитного поля в однородной среде (e = const, m = const), получаемые из уравнений Максвелла, приобретают одинаковую форму:
,     (4)
;

здесь D-Лапласа оператор, r и j - плотности заряда и тока, a u =  - скорость распространения электромагнитного поля в среде. Если r = 0 и j = 0, то Потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям.

  Уравнения (4) позволяют определить потенциалы А и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) - характеристики электромагнитного поля В и Е. Частные решения уравнений (4), удовлетворяющие причинности принципу, называют запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х’, у’, z" в предшествующий момент времени t = t - R/u, где

- расстояние от источника поля до точки наблюдения.

Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются суммированием (интегрированием) элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx"dy"dz’, с учётом времени запаздывания:
j (х, у, z, t) = ,
A (х, у, z, t) = ,
Через Потенциалы электромагнитного поля выражается функция Гамильтона Н заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле:
,     (6)

где p - импульс частицы, e и m - ее заряд и масса. Соответственно через Потенциалы электромагнитного поля выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квантовой механике.
 
  Лит. см. при ст. Максвелла уравнения.
  Г. Я. Мякишев.