Проективное пространство

Определение "Проективное пространство" в Большой Советской Энциклопедии

Проективное пространство, в первоначальном смысле — евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, называемыми также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость — одной несобственной прямой, всё пространство — одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные — разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные — разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

Проективное пространство можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четверок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как плоскости Проективное пространство, а числа называются однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки (x¹: x²: x³: x⁴) и плоскости (u₁: u₂: u₃: u₄) выражается равенством:. Аналогичнымобразом вводится понятие n-мерного Проективное пространство, играющего важную роль в алгебраической геометрии, причём координатами его могут быть элементы некоторого тела k. В более общем смысле Проективное пространство — совокупность трёх множеств элементов, называется соответственно точками, прямыми и плоскостями, для которых определены отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии. А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин показали, что если Проективное пространство над телом k есть связное компактное топологическое пространство, в котором прямая непрерывно зависит от двух принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то k есть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов.
Лит. см. при ст. Проективная геометрия.