Производящая функция

Определение "Производящая функция" в Большой Советской Энциклопедии

Производящая функция последовательности f₀, f₁..., f_n... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ¹ 0). Производящая функция называют также генератрисой. Последовательность f₀, f₁..., f_n... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае Производящая функция зависит не только от t, но и от аргументов функций f_n. Например, если f_n = aqⁿ где а и q - постоянные, то Производящая функция

если f_n - Фибоначчи числа; f₀ = 0, f₁ = 1, f_n+2 = f_n+1 + f_n, то Производящая функция

если f_n = Т _n (х) - Чебышева многочлены: T₀ (х) = 1, T_n (х) = cos (n arc cos x), то Производящая функция

и т.д. Знание Производящая функция последовательности часто облегчает изучение свойств последней. Производящая функция применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод Производящая функция был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949.